第10講 檢討第一次期中考、H. Cartan定理、Schwarz引理





       第1題: Suppose that f is holomorphic in a domain and that, at every point,
                  either f=0 or f'=0. Show that f is a constant.
       第2題: Evaluate the given line integral. See 3:50.
       第3題: Evaluate the given principal value integral. See 11:35.
       0:00 第1題
       3:11 第2題
       11:08 第3題

       第4題: Let f be holomorphic on U. Let J={exp(it) : t in [0,pi/6)}.
                  Suppose f is continuous up to J and f(z)=0 on J. Is f identically equal to zero on U?
                  Prove it or give a counterexample.
       第5題: Let f be a nonconstant entire function on C. Prove that the image of f is dense in C.
                  (No credit will be granted if you directly apply Picard's little theorem.)
       第6題: Let f be holomorphic on U and continuous on the closure of U.
                  Suppose that f is real on the boundary of U. Prove that f is a constant function on U.
       0:00 第4題 (常見錯誤)
       6:07 第4題 (法一)
       7:45 第4題 (法二)
       10:38 第5題
       11:45 第6題 (法一)
       13:01 第6題 (法二)
       16:39 第6題 (法三)
       20:11 第6題 (法四)

       第一次期中考第7題、H. Cartan定理、Schwarz引理 
       第7題: Let f be a holomorphic function from U to U
                  satisfying f(0)=0 and f’(0)=1. Prove that f(z)=z.
       0:00 H. Cartan's Theorem 亨利.嘉當定理
       5:49 Proof 證明
       10:37 Schwarz's Lemma 施瓦茨引理
       14:17 Proof 證明