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10902 複變數函數論

第8講 路徑積分例題、Sohotsky (or Plemelj) 公式

課程影音

L8A

L8A
     路徑積分例題:計算1/((2-x)(x^2+4))在R上的主值積分
     0:00​ Example: Principal value of the integral of 1/((2-x)(x^2+4)) on R
     1:08​ Choose contours 選擇適當路徑(兩種選擇)
     以下考慮第一條路徑
 
     3:11​ Find the poles of the integrand 求出被積函數的極點
     4:14​ Calculate the residues at poles 計算留數
     7:20​ Compute the contour integral by applying the residue theorem
             利用留數定理計算路徑積分(第一種路徑)
     9:38​ Estimate the contour integral on the circular arcs when R
              tends to infinity and epsilon tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
     13:17​ Let R tend to infinity and epsilon tend to 0 令R趨近於無限大、epsilon趨近於0
     以下考慮第二條路徑 
     14:35​ Compute the contour integral along another contour 考慮另一條路徑
     16:52​ Estimate the contour integral on the circular arc when epsilon
               tends to 0 估計圓弧上的路徑積分
     20:24​ Let R tend to infinity and epsilon tend to 0 令R趨近於無限大、epsilon趨近於0
     22:03​ Different Contours Give the Same Answer 不同的路徑都可以算出一樣的答案


L8B
     Sohotsky (or Plemelj) 公式 
     0:00​ Sohotsky (or Plemelj) Formulas
     15:00​ Proof for f holomorphic on C and inside C 證明 (f在C以及C以內是解析的情形)


L8C
     Sohotsky (or Plemelj) 公式 (續) 
     0:00​ Proof for f holomorphic on C and inside C (cont.) 證明
             (f在C以及C以內是解析的情形) (續)
     10:06​ Proof for f holomorphic near the point z_0 證明
               (f在點z_0附近解析的情形)

L8D
     路徑積分例題:計算sin(x)/x在R上的積分 
     0:00​ Example: Integral of sin(x)/x on R
     1:29​ Choose an appropriate integrand 選擇適合的被積函數
             (選擇(exp(iz)-1)/z比sin(z)/z更適合)
     6:07​ Choose a semicircle contour 選擇半圓路徑
     11:37​ Estimation Involving Lebesgue Dominated Convergence Theorem (LDCT)
                一項牽涉到Lebesgue控制收斂定理的估計
     15:54​ Choose a triangular contour instead 改選擇三角形路徑
     19:19​ Estimation Without LDCT 不用LDCT的估計

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