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10902 複變數函數論

第7講 利用路徑積分和留數定理計算實數軸上的積分

課程影音

L7A

L7A
    路徑積分例題:計算1/(5+3cos(x))在[-pi,pi]上的積分
    0:00 Contour Integrals 路徑積分
    1:31 Example: Integral of 1/(5+3cos(x)) on [-pi,pi]
    3:05 View the integral as a contour integral on the unit circle 將此積分化為單位圓上的路徑積分
    8:45 Find the poles of the integrand 求出被積函數的極點
    10:09 Compute the contour integral by applying the residue theorem 利用留數定理計算路徑積分
    11:13 Calculate the residues at poles 計算留數
    14:32 Correction 修正筆誤
    17:27 Integral of P(x)/Q(x) on R 形如P(x)/Q(x)的積分
    19:22 Example: Integral of 1/(1+x^4) on R


L7B
    路徑積分例題:計算1/(1+x^4)在R上的積分
    此題有2種算法
    方法一 
    0:00 Choose a contour 選擇適當路徑
    0:34 Find the poles of the integrand 求出被積函數的極點
    3:25 Compute the contour integral by applying the residue theorem 利用留數定理計算路徑積分
    4:19 Calculate the residues at poles 計算留數
    11:45 Compute the contour integral by direct computation 直接參數化計算路徑積分
    13:03 Estimate the contour integral on the upper semicircle when R tends to infinity
              估計上半圓上的路徑積分
    17:33 Let R tend to infinity 令R趨近於無限大
    方法二 
    18:08 Choose another contour 選擇適當路徑
    19:58 Compute the contour integral by applying the residue theorem 利用留數定理計算路徑積分
    20:23 Calculate the residues at the pole 計算留數


L7C
    路徑積分例題:計算1/(x^2+2x+2)在R上的積分
    方法二(續)
    0:00 Compute the contour integral by direct computation 直接參數化計算路徑積分
    2:17 Estimate the contour integral on the quarter circle when R tends to infinity
            估計四分之一圓上的路徑積分
    3:52 Let R tend to infinity 令R趨近於無限大
    6:23 Example: Integral of 1/(x^2+2x+2) on R
    7:39 Choose another contour 選擇另一條路徑
    8:07 Find the poles of the integrand 求出被積函數的極點
    9:33 Compute by direct computation and by applying the residue theorem
            利用留數定理和參數化計算路徑積分
    10:42 Calculate the residues at the pole 計算留數
    12:49 Estimate the contour integral on the upper semicircle when R tends to infinity
              估計上半圓上的路徑積分
    16:37 Let R tend to infinity 令R趨近於無限大
    18:41 Cauchy Principal Value 柯西主值


L7D
    柯西主值
    0:00 Cauchy Principal Value (cont.) 柯西主值 (續)
    10:41 Example: The principal value of the integral of 1/((2-x)(x^2+4)) on R
    12:10 Choose contours 選擇路徑(不只一種選擇)

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